1.3 条件概率与事件独立性
前面两节介绍了概率论中两个最基本的概念——事件和概率，并讨论了概率的基本性质与运算法则。本节将更深入地介绍概率论中有关条件概率与事件独立性的知识，并利用这些知识来解决一些较为复杂的实际问题。
1.3.1 条件概率与乘法公式
1.条件概率
前面从不同的角度讨论了概率的几种一般情形及概率的基本性质，这些讨论都基于一些固定的条件限制。然而，在处理实际问题时，经常需要在已知部分试验结果的基础上来求解概率，这就需要引入条件概率的概念。
假设一次考试的题型包括双选题，要求考生从a，b，c，d四个选项中依次选出两个正确答案，并且只有在两个答案全部选对的条件下才能够得分。在完成某道双选题时，如果考生没有掌握该题考查的内容，随机地选择两个答案，那么可能的选择有{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，并且每种选择的可能性都是相同的。若以A记事件“两个选项全部正确”，则考生得分（即事件A发生）的概率为1/6。
但是，如果在四个选项中考生能够确定其中一个选项的正确性，即考生选择的答案中“至少第一个选项正确”，例如，考生可以确定a选项是正确的，那么事件 A的概率便应是1/3。
由于引入了条件“至少第一个选项正确”，事件A的概率发生了变化，若记“至少第一个选项正确”为B，这时事件A的概率实际上是“在事件B发生的条件下，事件A的概率”，这就是我们所说的条件概率，记为P（A B）。
在上面的例子中，初始条件下样本点总数为n=6，在规定了事件B（仍假设考生选择了正确选项a）发生的前提后，样本空间也随之改变为ΩB={（a，b），（a，c），（a，d）}，样本点总数为mB=3，而有利场合（至少第一个选项正确，且两个选项全部正确）数为mAB=1，即
这个式子对于条件概率来说具有一般性，下面给出条件概率的定义。
对于任意两个事件A，B，若P（B）＞0，则称
为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，简称条件概率。
【例1-9】 某公司共有1200名员工，其中男性960人，女性240人。在过去的三年里，有324名员工得到提升，其具体情况如表1-3所示。试根据条件概率的公式计算：
表1-3 某公司员工提升情况表
① 若一个员工为男性，其得到提升的概率；
② 若一个员工为女性，其得到提升的概率。
解：根据题意，分别以M记事件“某员工为男性”，以W记事件“某员工为女性”，以A记事件“某员工得到提升”。
根据表中数据，可以得到以下结果
① 根据条件概率的公式，若一个员工为男性，则其得到提升的概率为
② 若一个员工为女性，则其得到提升的概率为
2.条件概率的性质
根据概率的性质，可以得到条件概率的一些类似的性质（以下均假定P（B）＞0）。
首先，条件概率也具有非负性、规范性、可列可加性三个基本性质，即
① 对于任意事件A和B，有P（A B）≥0。
② 在事件B发生的条件下，必然事件Ω发生的概率为1，即P（Ω B）=1。
③ 对于可列个两两互不相容事件A1，A2，…，以及任意事件B，有
基于以上三个基本性质，可以推出条件概率的如下常用性质。
④ 对于任意事件B，有P（
B）=0。
⑤ 对于任意n个两两互不相容事件A1，A2，…，An，有
P[（A1∪A2∪…∪An）B] =P（A1B）+P（A2B）+…+P（AnB）
⑥ 对于任意事件A和B，有
。
⑦ 对于任意事件A1，A2和B，有P[（A1∪A2）B] =P（A1B）+P（A2B）-P（A1A2B）。特别地，当B=Ω时，条件概率转化为无条件的一般概率。
3.乘法公式
通过对条件概率公式移项，可以得到
这个等式称为概率的乘法公式。
若P（A）＞0，也可以定义P（B A），这时可以得到P（AB）=P（A）P（B A）。
一般来说，可以把乘法公式推广到n个任意事件之交的场合，即当 P（A1A2…An-1）＞0时，有
P（A1A2…An）=P（A1）P（A2A1）P（A3A1A2）…P（AnA1A2…An-1）
【例1-10】 某商店出售一种零件，已知每箱装这种零件100件，且其中有4件是次品，商店采用“假一赔十”的营销方式，即顾客买一箱零件，如果随机地取1件发现是次品，商店立刻把10件合格品放入箱中，且次品不再放回。某顾客在一个箱子中先后取了3件进行测试，求这3件都不是合格品的概率。
解：根据题意，以Ai记“顾客在第i次测试时取到不合格品”（i=1，2，3），则有
根据乘法公式可知，顾客取出的3件都不是合格品的概率为
1.3.2 事件独立性
在1.3.1节的引例中，由于引入了条件B“至少第一个选项正确后”，考生得分的概率从1/6变为了1/3，在这里，引入的条件对事件A“两个选项全部正确”的概率进行了“修正”。那么，是否存在这样一种情况，使事件B的发生与否对事件A的概率并没有影响呢？
假设袋中有a个白球、b个黑球，并且这些球除颜色外没有任何差别。现从袋中有放回地先后取两个球，若以A记“第一次取到黑球”，以B记“第二次取到黑球”，由于取球是有放回的，因此无论第一次取到什么颜色的球，第二次取到黑球的概率都会是
，即P（B）=P（B A）=
。在这种场合下，事件 A的发生并不影响事件 B的发生，它们之间具有某种“独立性”。
对于任意事件A和B，如果有
则称事件A与B相互独立，简称A与B独立。
对于例1-10中的问题，根据已有结果P（AM）=0.24，而P（M）×P（A）=0.80×0.27 =0.216，从二者的不相等性可以看出，员工的性别和员工是否升职是不独立的，即该公司在员工升职问题上存在性别歧视。
相互独立事件有如下两个性质：
性质1 若事件A与B相互独立，则P（B A）=P（B）。
性质2 若事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B均独立。
【例1-11】 甲、乙二人独立地向同一目标射击，其命中率分别为0.6和0.7，试求目标被射中的概率。
解：根据题意，以A记“甲射中目标”，以B记“乙射中目标”，以C记“目标被射中”，因此有C=A∪B。由于事件A和B是相互独立的，故目标被射中的概率为
也可以先考虑C的对立事件，显然有
通过例1-11的求解，可以看到，在求解两个相互独立事件至少发生其一的概率问题时，可以通过求解它的逆事件，即两个相互独立事件都不发生的概率，由于相互独立事件的逆事件也一定是相互独立的，这样便简化了计算。
事件独立性的概念还可以推广到多个事件相互独立的场合，即n个事件相互独立，当且仅当它们中的任何m（2≤m≤n）个事件也相互独立。
1.3.3 全概率公式
设事件A1，A2，…，An是样本空间Ω的一组事件，若这组事件满足
① AiAj=
（i≠j；i，j=1，2，…，n）；
② A1∪A2∪…∪An=Ω；
则称A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个完备事件组。
假定B是样本空间Ω中的任意事件，显然有
（A1∪A2∪…∪An）∩B=Ω∩B=B
根据事件运算的分配率，可以得到
显然，AiB（i=1，2，…，n）也是一个两两互不相容的事件组，因此，根据概率的有限可加性有
结合式（1-15），当P（Ai）＞0时，有
该等式称为全概率公式。
若将A1，A2，…，An理解为引起事件B发生的若干原因，那么全概率公式的意义在于，综合引起事件B发生的各个原因，求解事件B发生的概率。
在处理一些较为复杂的概率问题时，常常需要运用全概率公式，首先找到一个合适的完备事件组，将复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件之和，然后分别计算这些简单事件的概率，再通过概率的可加性得到最终结果，即“化整为零，各个击破，积零为整”。
【例1-12】 某车间有甲、乙、丙三条生产线共同加工一批零件，各生产线的产量分别占总产量的40%、35%和25%，且在这三条生产线上加工该零件的次品率分别为2%、4%和5%，求从这批零件中任意取出一个零件是次品的概率。
解：根据题意，以A1 记“取出的零件来自甲生产线”，以A2 记“取出的零件来自乙生产线”，以A3 记“取出的零件来自丙生产线”，以B记“取出次品”，显然A1，A2，A3 构成这一随机取样试验样本空间Ω的完备事件组。
由已知条件可知
P（A1）=40%=0.40，P（A2）=35%=0.35，P（A3）=25%=0.25
P（BA1）=2%=0.02，P（BA2）=4%=0.04，P（BA3）=5%=0.05
根据全概率公式，取出次品的概率为
1.3.4 贝叶斯公式
在全概率公式的基础上，结合乘法公式，可以得到概率论中另一个非常重要的公式。
设A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个完备事件组，且P（Ai）＞0（i=1，2，…，n），根据全概率公式，对于样本空间Ω中的任意事件B有
而当P（B）＞0时，由条件概率的定义，有
根据乘法公式
P（AiB）=P（Ai）P（B Ai）
将以上三个式子结合，可以得到
这个等式称为贝叶斯公式。
贝叶斯公式反映了在复杂事件B已经发生的条件下，简单事件Ai发生的可能性大小，也即事件B的发生是由原因Ai引起的概率，因此P（AiB）通常称为后验概率。相应地，P（Ai）表示的是引起事件B发生的各种原因发生的可能性大小，一般是根据经验事实得来的，并且在试验前已经知道，因此通常称为先验概率。
【例1-13】 在例1-12中，如果取出的零件是次品，分别求这个零件是由甲、乙、丙生产线加工的概率。
解：分别以A1，A2，A3 记取出的零件来自甲、乙、丙生产线，以B记“取出次品”，则根据例1-12的计算结果，有
根据贝叶斯公式，可以得到
