2.2 非高斯Lévy噪声的定义和生成算法

2.2.1 非高斯Lévy噪声的定义

Lévy分布过程广泛地存在于自然界中，Lévy分布的研究也已经成为统计学等领域的重要分支[3-7]。Lévy分布能够很好地描述金融经济领域中数据的拖尾性、对电话中的错误集成信息进行数值模拟、模拟长时间的大气数据、模拟生物体中的诱发电位和随机扰动等[5-8]。同时，在地震形成和DNA的核苷酸序列中也都发现了Lévy噪声的普遍存在[9-10]。

Lévy过程由三部分组成：漂移项、布朗运动和泊松过程。利用Lévy-Itô分解表达式可以表示如下。

令Lt是在Rn中的Lévy过程，存在一个向量b∈Rn，一个协方差矩阵Q，以及一个独立的泊松随机测度N在R+×{Rn\{0}}中，因此对于每一个t≥0，有

式中，N（t，dy）是泊松随机测度，用于量化Lt中的跳跃个数，N1（t，dy）=N（t，dy）-v（dy）是补偿的泊松随机测度，是在协方差阵Q下的n维布朗运动过程。

Lévy-Khintchine方程详细描述了Lévy过程。在特征函数中，对每一个t≥0，u∈Rn，有

式中b∈Rn， Q为非负对称n×n矩阵， v为Borel测度，在Rn\{0}中有。

因此，存在描述Lévy过程的一个三元组（b，Q，v），以及用另一种形式描述Lévy过程的特征函数Φt（u）=etη（u）。

从而，Lévy噪声可以通过Lévy分布过程的形式导数求得。从α稳定分布模型即特征函数可知，α稳定噪声的分布特征是由稳定性指标α∈（0，2]、偏斜度参数β∈[-1，1]、尺度参数σ∈（0，+∞）、位置参数μ∈（-∞，+∞）这4个参数决定的，通常记α稳定分布为Sα（σ，β，μ） [11]。

2.2.2 非高斯Lévy噪声的生成算法[12][13]

关于非高斯Lévy噪声常见的生成算法有4种：Mantegna算法、McCulloch算法、Rejection算法和Janicki-Weron算法。

1.Mantegna算法

首先计算

式中，x，y是独立的随机变量且满足下式

然后，进行非线性变换

式中，K（α）可以表示为

C （α）可由式（2.21）积分得到

则

这就是一个Lévy稳定分布，并且由中心极限定理可以保证它的收敛性。最后，通过随机变量z=σ1/αZcn就能够得到Lévy噪声的随机数。

算法优点：计算速度快，且大的跳跃描述得较好。

算法缺点：随机数的生成仅与稳定性指标和噪声强度有关，且稳定性指标的取值范围有限制，可以取0.3～2之间的数。

2.McCulloch算法

采用的计算公式为

这是由Lévy过程特征函数中β=0得到的。在α=2时，可以退化到高斯情形；在α=1时，可以退化到柯西特殊情形，如下：

由此可以看出，只要给定Lévy分布特征函数稳定性指标α、尺度参数σ和位置参数μ的值，就可以根据算法步骤产生Lévy分布。

算法优点：计算速度快，且大的跳跃描述得较好。

3.Rejection算法

Rejection算法需要用到稳定性指标α、尺度参数σ和间隔宽度M。如果生成的随机数超过这个宽度则视为无效。

首先，粗略估计Lévy噪声的分布密度函数

式中，Lα，σ（xi）为Lévy分布的近似密度函数

每次提取两个随机数近似计算x1和x2，x为在区间[-M，M]内唯一服从某一分布的数，第二个数也是服从这一分布的数，但是介于0和概率密度最大的值之间。如果x2＜f （x），则x为有效的随机数，否则继续选择。

算法优点：此算法可以描述受抑制的Lévy噪声的随机数，更符合真实的情形。

算法缺点：算法生成速度慢，且只能描述稳定性指标和噪声强度对随机噪声的影响。

4.Janicki-Weron算法

假设V、W为两个独立的随机变量，其中，V服从（-π/2，π/2）内的均匀分布，W服从均值为1的指数分布，由V、W可构造性地得到服从α稳定分布的随机变量X。

当α≠1时，有

式中

当α=1时，有

对比这4种算法，Mantegna算法计算起来比McCulloch算法简单，适合用硬件来实现的场合。利用McCulloch算法在计算每一个输出值时，所使用的随机数较少，因此，其运算速度较快。但McCulloch算法只适合产生符合对称分布和两种特殊分布情形时的随机变量。Rejection算法的运算速度要比Mantegna算法的快，但对α及所考虑间隔宽度的取值的依赖性强。相对于前三种算法，在数值仿真中，Janicki-Weron算法综合应用较多，因此，本书采用Janicki-Weron算法模拟Lévy噪声。

5.Lévy过程与Lévy随机数的关系

通过Lévy过程特征函数可以得到Lévy随机数，随机数的生成可以通过如下方程得到：

式中

式中，w和φ是两个独立随机变量，w是在（-π/2，π/2）范围内的一个标准均匀分布，而φ是标准的指数分布。

根据Lévy过程的自相似性，特征函数为

即可得过程L（t）和随机数ζ（k）间的关系如下：

式中，ζ（k）是离散的噪声。

图2.1描述了不同参数下Lévy过程的对比示意图。