1.3.1 绝对误差

定义1-1 设x*是准确值x的一个近似值，则

称为近似值x*的绝对误差，简称误差。在不易混淆时，e（x*）简记为e*。

从定义1-1可以看出，e*可正可负，当e*＞0时，x*称为x的弱（不足）近似值；当e*＜0时，x*称为x的强（过剩）近似值。的大小标志着x*的精度。一般地，在同一量的不同近似值中，越小，x*的精度越高。e*是有量纲的。

一般情况下，无法准确知道绝对误差e*的大小，但根据具体测量或计算情况，可以事先估计出误差的绝对值不超过某个正数ε*，这个正数ε*叫作误差绝对值的上界或误差限。

定义1-2 如果

则称ε（x*）为x*近似x的绝对误差限，简称误差限（界），用它反映近似数的精度。在不易混淆时，ε（x*）简记为ε*。

从定义1-2可以看出，ε*是一个正数。又因为在任何情况下都有

即

x * -ε *≤x≤x*+ε*

这就表明准确值x在区间[x*-ε*,x*+ε*]内，用x=x*±ε*来表示近似数x*的精确度，或准确值所在的范围。同样有-ε*≤e*≤ε*，即是在ε*的范围内，所以ε*应取得尽可能小。例如，x=4.3762816…，取近似数x*=4.376，则x-x*=0.0002816…，这时

同样

显然，0.3×10-3和0.29×10-3都是的上界，都可以作为近似值x*的绝对误差限，即

ε * =0.3×10-3或ε*=0.29×10-3

由此可见，绝对误差限ε*不是唯一的，这是因为一个数的上界不唯一。但是ε*越小，x*近似真值x的程度越好，即x*的精度越高。在实际应用中，往往根据需要对准确值取近似值，按四舍五入原则取近似值是使用最广泛的取近似值的方法。

例1-1 用一把有毫米刻度的尺子测量桌子的长度，读出来的值x*=1235mm，这是桌子实际长度x的一个近似值，由尺子的精度可以知道，这个近似值的误差不会超过1/2mm。

这表明真值x在区间[1234.5，1235.5]内，写成

x=（1235±0.5）mm

这里绝对误差限ε*=0.5mm，即绝对误差限是末位的半个单位。

下面讨论“四舍五入”的绝对误差限。

设x为一实数，其十进制表示的标准形式（十进制规格化浮点数形式）是

x=±0.x₁x₂…×10m

其中，m是整数；x₁，x₂，…是0，1，…，9中的任一数，但x₁≠0。若经过四舍五入保留n位数字，得到近似值

四舍时的绝对误差

五入时的绝对误差

由于此时x_n+1≥5，所以，有

所以，四舍五入得到的近似数的绝对误差限是其末位的半个单位，即

例1-2 圆周率π=3.14159…，用四舍五入取小数点后4位时，近似值为3.1416，此时m=1，n=5，m-n=1-5=-4，故绝对误差限。同样，取小数点后2位时，近似值为3.14，其绝对误差限。

对于用四舍五入取得的近似值，专门定义有效数字来描述它。