习题 1

1.试针对样本空间中样本点的不同类型，列举出几个日常生活中的随机现象。

2.设有甲、乙两种产品，现分别从这两种产品中取出一件，若以A记从甲产品中取出次品，以B记从以产品中取出次品，试表示如下事件：

① 两件产品都是次品；

② 至少有一件产品是次品；

③ 恰好有一件产品是次品。

3.设有n个球，每个球都等可能地被放到N个不同的盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限。试求：

① 指定的n（n≤N）个盒子中各有一球的概率p1；

② 恰好有n（n≤N）个盒子中各有一球的概率p2。

4.从1，2，…，10这十个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，取后还原，先后取7个数，试求：

①7个数全不相同的概率；

②7个数中不含9和2的概率；

③8恰好出现三次的概率；

④5至少出现两次的概率；

⑤ 取到的最大数为6的概率。

5.某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来两只船，且在24小时内各时刻来到的可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时和4小时，试求有一只船要在江中等候的概率。

6.口袋中装有10个球，其中有3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）。

① 已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；

② 已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。

7.设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时被打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。试求透镜落下三次而未打破的概率。

8.三人独立地去破译一份密码，已知他们能破译该密码的概率分别为1/5，1/3，1/4，试求该密码被破译的概率。

9.两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。

① 求任取一个零件是合格品的概率；

② 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率。

10。一批产品共有100件，其中10件是不合格品。根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件产品中无不合格品，则这批产品被接收，否则就要重新对这批产品逐个检验。

① 试求5件产品中不合格品数X的分布列；

② 需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？

11.一种电子管的使用寿命X（单位：小时）的概率密度函数为

设某种仪器中装有5个这种工作相互独立的电子管，试求：

① 使用最初1500小时没有一个电子管损坏的概率；

② 这段时间内至少有两个电子管损坏的概率。

12.设随机变量X的概率分布为

求E（X）和D（X）。

13.设随机变量X的概率密度函数为

已知，试确定a的值，并求分布函数F（x）。

14.设事件A在每次独立试验中发生的概率为p，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。若

① 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

② 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率。

15.一批产品的不合格率为0.03，现从中任取40只进行检查，若发现两只或两只以上不合格品就拒收这批产品。分别用以下方法求拒收的概率：

① 用二项分布做精确计算；

② 用泊松分布做近似计算。

16.某公共汽车站每隔10分钟有一辆车通过，一个乘客随机到达此车站候车，候车时间X服从 [0，10] 上的均匀分布。试求，这个人至少等候6分钟的概率。

17.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：分钟）X服从指数分布，其概率密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。试求该顾客等到服务的概率。

18.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头概率在0.01以下来设计的，设男子身高X～N（170，62），问车门高度应如何确定？

19.设某幢建筑物使用寿命（单位：年）X服从正态分布N（50，100），已知这幢建筑物已经使用了30年，试求它还可以再使用30年的概率。

20.试根据引例中的数据，计算得出年历销售量的概率分布表和收益与收益期望分布状况表，并给出计算过程。