1.5 案 例

案例1.1 概率论在可靠性检验中的应用

随着社会生产力的迅速发展，科学技术日新月异，在科学研究和生产实践中出现了许多大型产品和复杂的系统工程，如美国曼哈顿计划研制的原子弹、海军研制的“北极星导弹潜艇”、火箭发射、人造卫星、阿波罗宇宙飞船等。对于这些大型产品和系统工程来说，对其可靠性提出的要求是空前的。以宇航工业产品为例，宇航工业产品的可靠性要求达到99.9999%，即这项极为复杂的系统工程在100万次动作中，只允许有一次失灵。它们所用的电子元件、器件、机械零件等，持续安全运转工作时间要在1亿小时，甚至10亿小时。那么，可靠性应当如何定义呢？

对于一个元件，将它能够正常工作的概率称为它的可靠性。若由若干个元件组成一个系统，则这个系统正常工作的概率称为该系统的可靠性。如何从组成元件的可靠性寻求系统的可靠性，或者如何从系统可靠性的要求反过来求出元件的可靠性，在实际问题中具有十分现实的意义。

元件的连接有两种基本的方式：串联和并联。

1.串联

把几个元件首尾相连组成一条通路，这样的系统称为串联系统。在串联系统中，只有当所有元件都能够正常工作时，系统才能够正常工作。

2.并联

把几个元件首首相连、尾尾相连组成一条通路，这样的系统称为并联系统。在并联系统中，只要有一个以上的元件能够正常工作，系统就能正常工作。

已知有2n个完全相同的元件，每个元件的可靠性都是p。现将这2n个元件以4种方式连接成为一个系统，如图1-10所示。

思考题：

① 试求每个系统的可靠性；

② 比较各个系统的可靠性，得出可靠性大小的顺序。

案例1.2 概率论在民事纠纷中的应用

在民事纠纷案件中，受害人将案件提交法院诉讼，除了要考虑胜诉的可能性外，还应考虑到诉讼费用的负担。理性的当事人往往通过私下协商赔偿费用而趋于和解，免于起诉。

在一次交通事故案件中，司机（致害人）开车撞伤了受害人，使受害人遭受了10万元的经济损失。假若将案件提交诉讼，则诉讼费用共需要0.4万元，并按所负责任的比例由双方承担。从事故发生的情形分析，法院对事故判决可能有三种情况：

（1）致害人应承担100%的责任，要向受害人赔偿10万元的损失费用，并支付全部0.4万元的诉讼费；

（2）致害人应承担70%的责任，要向受害人赔偿7万元的损失费用，并支付0.4万元诉讼费的70%，诉讼费另外的30%由受害人支付；

（3）致害人应承担50%的责任，要向受害人赔偿5万元的损失费用，0.4万元的诉讼费由双方各负担一半。

受害人估计情况（1）、（2）、（3）发生的概率分别为0.2、0.6和0.2。

（资料来源：陈卫东。离散型随机变量的数学期望在法律、医学和经济问题中的应用 [J]。广东广播大学学报，2005，14（14）：103～104。）

思考题：

（1）如果受害人将案件提交诉讼，列出其获得收益的分布列。

（2）如果致害人希望私下和解而免于起诉，他应至少给受害人多少数额的赔偿费，才会使受害人从经济收益上考虑而趋于和解？